Persamaan Garis Singgung

Posted on

Persamaan Garis Singgung – Halo sobat materibelajar.co.id kembali lagi bersama kami yang dimana pada kali ini kami akan membahas tentang pelajaran Matematika yang bertemakan Persamaan Garis Singgung untuk lebih jelas dan lengkapnya maka simaklah penjelasan yang ada dibawah ini.

persamaan garis singgung fungsi trigonometri

Sebelum kita masuk pada latihan soal, terlebih dulu kita bisa memahami beberapa konsep yang sangat penting, seperti dari mencari gradien, sifat-sifat dari gradien serta rumus didalam mencari sebuah persamaan garis singgung. Sesudah itu baru bisa dilanjutkan dengan sekumpulan soal soal persamaan garis singgung dikurva.

Mencari Nilai Gradien Garis

Gradien garis yang disimbolkan dengan huruf “m” bisa dicari nilainya yang berdasarkan dari persamaan garisnya, yang dimana :
Apabila persamaan y yaitu y= ax + b ⇒ m = a
Apabila persamaan ax+by=c ⇒ m = – a b
Apabila melalui dua titik, contohnya saja:
(x1,y1) dan (x2,y2) ⇒ m = (y2 – y1) (x1 – x2)
Apabila membentuk sebuah sudut α kepada sumbu-x positif ⇒ m = tan α
Apabila ada kurva y = f(x) yang disinggung oleh suatu garis pada titik (x1,y1) ⇒ m = f'((x1)
Bagi gradien dari dua garis lurus, berlaku sebuah ketentuan :
Apabila saling sejajar jadinya m1 = m2
Apabila saling tegak lurus jadinya m1 . m2 = -1 ataupun m1 = -1 m2

Persamaan Garis Singgung Kurva

contoh soal persamaan garis singgung tegak lurus dan sejajar

Persamaan dari garis singgung pada kurva y = f(x) yang sudah disinggung oleh suatu garis pada titik (x1,y1), jadi gradien pada garis singgung itu yakni m = f'(x1). Sementara itu juga x1 serta y1 mempunyai hubungan y1 = f(x1). Sehingganya persamaan pada garis singgungnya dapat dinyatakan dengan rumus y – y1 = m(x – x1).

Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Kurva

Soal Nomer 1

Tentukanlah persamaan pada garis singgung bagi kurva y = x2 + 3x pada titik (1,3)

Pembahasan
f(x) = x2 + 3x
f'(x) = 3x + 2
m = f ‘(1) = 3(1) + 2 = 5
m = 5

Jadi, persamaan dari garis singgungnya ialah:
y – y1 = m(x – x1)
y − 3 = 5(x − 1)
y − 3 = 5x − 5
y = 5x − 2

Soal Nomer 2

Tentukanlah Persamaan dari garis singgung pada kurva y = 3x3 – 3x2 pada titik berabsis 2

Pembahasan
Absis itu ialah sumbu -x, jadi x =2:
Langkah ke-1 : Cari lah titik singgung dengan cara memasukkan nilai x = 2
y = 3x3 – 2x2
y = 3(2)3 − 3(2)2
y = 24 – 12
y = 12
Jadi titik singgung : (2, 12)

Langkah ke- 2: Cari nilai dari gradien
f(x) = 3x3 – 3x2
f ‘(x) = 9x2 – 6x
m = f ‘(2) = 9(2)2 − 6(2)
m = 36 – 12
m = 24

Jadi, persamaan dari garis singgungnya ialah :
y – y1 = m(x – x1)
y − 12 = 24(x − 2)
y = 24x – 36

Soal Nomer 3

Tentukanlah persamaan pada garis singgung pada kurva y = 2 + 3x – x2 sejajar dengan garis 2x + y = 3

Pembahasan
Langkah ke-1 : Cari nilai dari m1
y = 2 + 3x – x2
m1 = f'(x) = -3x + 2
m1 = -3x + 2

Langkahke-2 : Carilah nilai dari m2
2x + y = 3
y = -2x + 3
m2 = -2 (Ingat !! Apabila y = ax + b ⇒ m = a )

Langkah ke-3 : Cari nilai dari x
Dikarenakan kedua garisnya saling sejajar maka berlakunya :
m1 = m2
-3x + 2 = -2
-3x = -4
x = 1,3
Langkah ke-4 : Cari nilai dari y yang memasukkan nilai dari x = 1,3
y = 2 + 3x – x2
y = 2 + 2(1,3) – (1,3)2
y = 2 + 2,6 – 1.69
y = 2.91

Sekarang kita sudah mempunyai titik singgung (1.3,2.91)

Langkah ke-4: Persamaan dari garis singgung
y – y1 = m(x – x1)
y – 2.91 = -2(x – 1.3)
y = -2x + 5.51

Soal Nomer 4

Carilah sebuah persamaan dari garis singgung di kurva y = x2 – x + 3 pada titik yang berordinat pada 5 ?

Pembahasan
Ordinat itu yakni sumbu -y, jadinya nilai y = 5

Langkah ke-1 : Cari titik pada singgung dengan cara memasukkan nilai y yakni 5
y = x2 – x + 3
5 = x2 – x + 3
x2 – x + 3 – 5 = 0
x2 – x – 2 = 0
(x – 2)(x + 1) = 0
x = 2 atau x = -1
Jadi ada dua titik singgung yakni : (2,5) ataupun (-1,5)

Langkah ke-2: Carilah nilai dari gradien
Nilai gradien bagi x = 2
f(x) = x2 – x + 3
f'(x) = 2x – 1
m = f'(2) = 2(2) – 1
m = 3

Nilai gradien bagi nilai x = -1
f(x) = x2 – x + 3
f'(x) = 2x – 1
m = f'(-1) = 2(-1) – 1
m = -3

Langkah ke-3: Menentukan sebuah persamaan pada garis singgung
Dikarenakan kita mempunyai dua titik singgung, yang tentunya akan terdapat dua persamaan pada garis singgung

Persamaan dari garis singgungnya bagi titik (2,5) dan m = 3
y – y1 = m(x – x1)
y – 5 = 3(x – 2)
y = 3x – 6 + 5
y = 3x – 1

Persamaan dari garis singgungnya bagi titik (-1,5) dan m = -3
y – y1 = m(x – x1)
y – 5 = -3(x – (-1))
y – 5 = -3x – 3
y = -3x + 2

Jadi, terdapat dua persamaan garis singgung, yakni y = 3x – 1 ataupun
y = -3x + 2

Soal Nomer 5

Tentukanlah persamaan dari garis singgung pada kurva y = x3 – 3x2 – 5x + 10 apabila gradien garis singgungnya yakni 4 ?

Pembahasan
Langkah ke-1: Carilah titik singgung pada f(x) = x3 – 3x2 – 5x + 10
f'(x) = 3x2 – 6x – 5
m = f'(x)
4 = 3x2 – 6x – 5
3x2 – 6x – 9 = 0 (lalu bagi dengan 3)
x2 – 2x – 3 = 0
(x – 3)(x + 2) = 0
x = 3 ataupun x = -2

Bagi x = 3
y = x3 – 3x2 – 5x + 10
y = 33 – 3(3)2 – 5(3) + 10
y = 27 -27 – 15 + 10
y = -5
Jadi Titik singgung yang pertama (3,-5)

Bagi x = -2
y = x3 – 3x2 – 5x + 10
y = (-2)3 – 3(-2)2 – 5(-2) + 10
y = -8 – 12 + 10 + 10
y = 0
Titik singgung yang kedua (-2,0)

Langkah ke-2: Menentukan sebuah persamaan dari garis singgung
bagi titik singgung yang pertama (3,-5)
y – y1 = m(x – x1)
y – (-5) = 4(x – 3)
y + 5 = 4x -12
y = 4x -17

Bagi titik singgung yang kedua (-2,0)
y – y1 = m(x – x1)
y – 0 = 4(x – (-2))
y = 4x + 8

Jadi terdapat dua persamaan garis singgung yakni :
y = 4x -17 dan y = 4x + 8

Soal Nomer 6

Tentukanlah sebuah persamaan pada garis singgung di kurva y = 3 – x2 secara tegak lurus kepada garis 4y = x + 1 ?

Pembahasan
Langkah ke-1 : Cari lah nilai m1
y = 3 – x2
m1 = f'(x) = -2x
m1 = -2x

Langkah ke-2 : Cari lah nilai m2
4y = x + 1
y = 1 4 x + 1 4
m2 = 1 4 (Ingat ya!! Apabila y = ax + b ⇒ m = a)

Langkah ke-3 : Cari lah nilai x
Dikarenakan kedua garis yang tegak lurus maka berlakunya :
m1 . m2 = -1
m1 . 1 4 = -1
m1 = -4

Masukkan lah nilai m1 didalam persamaan pada langkah ke-1 :
m1 = -2x
-4 = -2x
x = 2

Langkah ke-4 : Carilah nilai y dengan cara memasukkan nilai yakni x = 2
y = 3 – x2
y = 3 – 22
y = 3 – 4
y = -1
Jadi, titik singgungnya yakni: (2,-1)

Langkah ke-5 : Menentukan sebuah persamaan pada garis singgung
y – y1 = m(x – x1)
y – (-1) = -4(x – 2)
y + 1 = -4x + 8
y = -4x + 7
Jadi, persamaan pada garis singgungnya yaitu y = -4x + 7

Soal Nomer 7

Tentukanlah Sebuah Persamaan garis singgungnya pada kurva y = 2x – 3x2 pada titik menggunakan absis 2

Pembahasan
Absis itu merupakan sumbu-x, jadinya x =2:
Langkah ke-1 : Cari lah titik singgung dengan cara memasukkan nilai x = 2
y = 2x – 3x2
y = 2(2) − 3(2)2
y = −8
Jadinya titik singgung : (2, −8)

Langkah ke-2: Carilah nilai gradien
f(x) = 2x − 3x2
f ‘(x) = 2 − 6x
m = f ‘(2) = 2 − 6(2) = −10
m = −10

Jadinya, persamaan pada garis singgungnya ialah
y – y1 = m(x – x1)
y − (−8) = −10(x − 2)
y + 8 = −10x + 20
y = −10x + 12

Soal Nomer 8

Tentukanlah Sebuah Persamaan pada garis singgung pada kurva y = x2 pada titik berabsis yakni -2

Pembahasan
Absis itu ialah pada sumbu-x, jadinya x = -2:

Langkah ke-1 : Carilah titik singgung dengan cara memasukkannya pada nilai x = -2
y = x2
y = (-2)2
y = 4
Jadinya titik singgung yakni : (-2, 4)

Langkah ke-2: Carilah nilai gradiennya
f(x) = x2
f ‘(x) = 2x
m = f ‘(-2) = 2(-2)
m = -4

Jadinya, persamaan dari garis singgungnya yakni
y – y1 = m(x – x1)
y − 4 = -4(x − (-2))
y – 4 = -4x – 8
y = -4x – 4

Selesai sudah pembahas kali ini tentang Persamaan Garis Singgung semoga dapat membantu kalian semuanya dalam mempelajari pelajaran Matematika dan terimakasih kamu sudah berkunjung dan menyimak artikel ini sampai akhir .

Baca Juga Lainnya: